Дебют на поле для исландского футболиста состоялся в 2007 году, когда ему было всего шестнадцать лет. Тогда Бьорн выходил на замену, а в следующем году уже вошел в основной состав «Акранеса». Спортивная биография Бьорна Сигурдарсона началась не очень удачно – клуб, в котором начал играть подающий большие надежды нападающий, вылетел из высшего дивизиона. Позже, когда он стал игроком норвежского клуба «Лиллестрем», Бьорна вновь постигла неудача – травма, полученная в первом сезоне, выбила его из чемпионата, в котором Сигурдарсон успел сыграть всего двенадцать игр.
В «Лиллестреме» исландский футболист играл до 2012 года, а потом перешел в «Вулверхэмптон Уондерерс», играющий в английском Чемпионшипе.
И вновь в его карьере все складывалось не так гладко – клуб потерял место в Чемпионшипе и вылетел в третий дивизион, а Бьорна сначала убрали из основного состава, а потом отдали в аренду до конца 2014 года сначала в норвежский «Мольде», а потом в клуб высшей лиги Дании «Копенгаген».
Летом 2016 года Бьорн Сигурдарсон вернулся в «Мольде» уже на правах свободного агента, а в начале этого заключил контракт на три с половиной года с российским футбольным клубом «Ростов», в составе которого уже начал тренироваться и принимать участие в играх.
О своем переходе Бьорн сказал, что счастлив перейти в этот клуб, поскольку после переговоров с руководством «Ростова» он узнал о планах по его развитию, а также о том, как игроки клуба относятся к своему делу.
Клуб пересмотрел свою тактику и немного изменил задачи футболистов – теперь полностью подготовленные игроки должны будут провести на поле полтора часа в какой-либо из игр, а прежней ротации больше не будет.
Игрокам будут предложены новые упражнения, которые позволят им лучше подготовиться к скоростной игре, необходимой для рывков.
О личной жизни Бьорна Сигурдарсона нет никакой информации, также ничего не известно о его семье, жене и детях.